مبرهنة أويلر
في نظرية الأعداد، مبرهنة أويلر لصاحبها ليونارد أويلر هي كما يلي :
- إذا كان n عددا طبيعيا وa أوليا مع n، إذن
- حيث
الدالة مؤشر أويلر
في ١٧٣٦، قدم أويلر إثباته لمبرهنة فيرما الصغرى، والتي قدمها فيرما دون إثبات.
النظرية تعد تعميماً لنظرية فيرما الصغرى، و يمكن تعميمها إلى مبرهنة كارمايكل.
يمكن استخدام المبرهنة لإيجاد البواقي لإعداد ذات قوى كبيرة ل"n" بسهولة. على سبيل المثال: لإيجاد وحدة الآحاد للعدد 7222 والذي يكافئ 7222 (mod 10)
≡ 74 × 55 + 2 ≡ (74)55 × 72 ≡ 155 × 72 ≡ 49 ≡ 9 (mod 10).
البرهان
لتكن {(R = {x1, x2, ..., xφ(n نظام بواقي مصغر (mod n) ولتكن a عدداً صحيحاً أولي نسبياً مع n.
البرهان مبني على أن الضرب بـa يدوّر الباقي xi: بكلمات أخرى إذا كان (axj ≡ axk (mod n فإن j = k.
ما يعني أن المجموعات R و {(aR = {ax1, ax2, ..., axφ(n
بأخذهم (mod n) فإن لهم نفس الباقي ، مايعني أن حاصل ضرب عناصر المجموعة R مساوٍ لـ aR :
وبالتالي نستطيع التخلص من xi ونحصل على مبرهنة أويلر:
