استقراء رياضي
الاستقراء الرياضي باللغة الانجليزية (Mathematical induction) وهو عبارة عن أحد أنواع البرهان الرياضي تستعمل عادة لبرهنة أنّ معادلة أو متباينة ما صحيحة لمجموعة لانهائية من الأعداد، كالأعداد الصحيحة. يوعتمد البرهان على مبدأ وقوع أحجار الدومينو، ويتم على مرحلتين: في الأولى، يبرهن أنّ أوّل رقم في المجموعة يحقّق المطلوب، وفي الثانية نفرض أنّ المطلوب يتحقّق لعدد ما من المجموعة، ونبرهن، جبريًا، مثلاً، أنّه يتحقّق أيضًا للعدد الذي يليه في المجموعة استنادًا على الفرض وعلى الأساس.يذكر، لمنع حصول التلابسات، أنّ الاستقراء الرياضي يختلف عن الاستنتاج الاستقرائي - فالأخير لا يعد برهانًا كافيًا ودقيقًا في عالم الرياضيات. الأصح هو القول أنّ الاستقراء الرياضي هو ضرب من الاستنتاج الاستدلالي باللغة الانجليزية (deductive reasoning).
تاريخ
ربما كانت محاورة أفلاطون في عام 370 قبل الميلاد قد حوت أول إثبات بالاستقراء الرياضي على الإطلاق. يمكن ملاحظة اثارالاستقراء الرياضي المبكرة في إثبات إقليدس بأن عدد الأعداد الأولية لانهائي. كما أن أول إثبات ضمني بالاستقراء الرياضي للمتوالية الحسابية كان على يد العربي البغدادي الكرخي حوالي سنة 1000 ميلادية، والذي استخدمها لإثبات نظرية ذات الحدين، مثلث باسكال، وصيغة المجموع لتكامل المكعبات. كان إثباته هو الأول الذي استخدم المبدأين الأساسيين في الإثبات الاستقرائي, "وهما صواب التعبير من أجل n = 1 (لاحظ أن 1=13) واشتقاق الصواب من أجل n = k من تلك لقيمة n = k − 1. بالطبع الجزء الثاني غير نقدي لأنه بشكل أو باخر حجة الكراجي معكوسة; من هنا يبدأ الكراكي لـn = 10 ومن ثم النزول حتى 1 بدلا من الاستمرار". ومن بعده مباشرة جاء الحسن ابن الهيثم لإثبات مجموع قوى الدرجة الرابعة بطريقة الاستقراء. لقد قام بإثبات ذلك على أعداد صحيحة معينه فقط ولكن إثباته لهذه الأعداد كان بالاستقراء وشاملا. كما أن السموأل بن يحيى بن عباس كان أقرب إلى الإثبات الحديث بالاستقراء الرياضي عندما استخدمه في توسيع إثبات مثلث باسكال وذات الحدين.
الوصف
الشكل العام والأبسط في الاستقراء الرياضي يثبت أن التعبير المتمثل في عدد طبيعي n يبقى صحيحا لجميع قيم n. يتألف الإثبات من خطوتين:
الأساس: لإثبات صحة التعبير عند n = 0 أو n = 1 غالباً.
خطوة الاستقراء: لإثبات أنه إذا كان التعبير صحيحا لبعض قيم n, فإن التعبير صحيح أيضا عندما تعويض n + 1 في n.
يدعى الافتراض في خطوة الاستقراء بصحة التعبير لبعض قيم n بفرضية الاستقراء. لإجراء خطوة استقرائية فيجب فرض الفرضية الاستقرائية يثم استخدام هذا الفرض لاثبات التعبير لقيمة n + 1.
فرضية الدومينو
من السهل التمعن في تأثير الدومينو حيث يمكن شرحها كما يلي:
ستسقط حجرة الدومينو الإولى
كلما سقطت حجرة دومينو تلتها أخرى,
وبالتالي يمكن استنتاج أن جميع قطع الدومينو سوف تسقط وهذا أمر محتوم.
المراجع
areq.net
التصانيف
نظرية البرهان منطق رياضي رياضيات