إثبات خاطئ

تطلق عبارة إثبات خاطئ أو مبرهنة خاطئة أو إثبات غير مشروع على أي تعبير زائف الإثبات في الرياضيات. تعتمد أغلب طرق البراهين الزائفة أساليب تضليل بارعة تصل في النهاية لعمل خرق فاضح في القانون الرياضي مما يعطي البعض فرصة للتشكيك في صحة الرياضيات. ومع ذلك فإن مثل هذه البراهين تدل على مدى ضرورة الدقة في الرياضيات. يعد كتاب سيوداريا Pseudaria من الكتب القديمة ذات البراهين الخاطئة ويعزى إلى إقليدس.

فيما يلي ستتم الإشارة إلى بعض وأكثر البراهين الخاطئة انتشارا.

الأس والجذر

• إثبات أن (1=-1)

نسخة 1

نبدأ بالمطابقة

نسخة 2

بواسطة التلاعب بالأساسات، يمكن اشتقاق البراهين الخاطئة التالية:

نسخة 3

بالعبور إلى ومن الأعداد الحقيقية للأعداد المركبة يمكن اشتقاق الاثبات الغير مشروع كما يلي:

نسخة 4

بالاستعانة بالمتطابقة المثلثية

في هذا البرهان، بدأت المغالطة في الخطوة الثالثة، حيث تم تطبيق القاعدة (ab)c = abc دون التأكد من أن a موجبة القيمة. أيضا، في الخطوة الرابعة, لم يتم الكشف عن جميع الجذور الممكنة (1-0)^\frac{3}{2}. مع أن 1 يعتبر جذرا، −1 هو جذر أيضا.

بالغاء الإجابة الخاطئة 1 يتبقى لدينا الإجابة الصحيحة −1 = −1.

• اثبات أنx = y لأي أعداد حقيقية x وy

إذا كان ab = ac'، فإن b = c. لذلك، بما أن1x = 1y، يمكننا استنباط أن x = y.

هـ.ط.ث.

الخطأ في هذا الاثبات يقع في الحقيقة أن القاعدة المنصوص عليها صحيحة فقط لعدد موجب a لا يساوي 1.

• اثبات أن الجذر التربيعي لـ 1 = -1
هـ.ط.ث.

يقع الخطأ هنا في السطر الأخير من الاثبات، حيث أهملنا الجذور الرباعية الأخيرة لـ1، وهي −1, i

و− i (حيث أن i هي الوحدة التخيلية). * 1+1+1+... =1 هنا أيضا خدعة شائعة تستخدم لإثبات أن حاصل جمع أي عدد من الواحدات ينتج عنه الرقم 1 أيضا:
لو وضعنا:
0 + 0 = 0 ثم عوضنا عن x = 0 في المعادلة السابقة لتصبح:
x = x + x
وبقسمة الطرفين على x نحصل على
1 + 1 = 1
بتعميم هذه الطريقة يمكن أيضا اثبات أن
1 + 1 + 1 +... 1 = 1
طالما وصلنا للصيغة:
x = x... + x + x + x
بالتأكيد فالخطأ الذي يقع فيه الجميع هو عند السماح بالقسمة على x مع أنه لا يجوز رياضيا القسمة على 0 وبشكل خاص عندما يكون كل من البسط والمقام أصفارا لأن النتيجة تصبح غير معرفة.
• 1=2

إثبات أن 1=2 هو نوع من الإثباتات الخاطئة في الرياضيات، وهي الإثباتات التي تصل إلى نتيجة غير منطقية رغم استخدامها القوانين الرياضية.

1.لنأخذ المقدار

س = ص

2.بضرب الطرفين في س

س² =س ص

3.بطرح ص² من الطرفين

س² – ص²=س ص – ص²

4.بتحليل الطرفين

(س+ص) (س–ص) = ص (س–ص)

5.بقسمة الطرفين على (س–ص)

(س+ص)= ص

6.وبما أن س = ص ←

(ص+ص) = ص ←

2ص = ص ←

بقسمة الطرفين على ص ←

1 = 2

وهذه بالطبع نتيجة غير منطقية، وذلك لأنه في الخطوة الخامسة قُسم الطرفين على (س-ص)، وهذا المقدار يساوي الصفر (لأن س=ص)، فإن ذلك يعتبر خطأً، لأنه لا يجوز القسمة على صفر.

المراجع

ويكيبيديا, الموسوعة الحرة

التصانيف

نظرية البرهان  براهين  تناقض منطقي  منطق