صيغة فاولابر

في الرياضيات, صيغة فاولابر, المسماه على اسم جوهان فاولابر, تعبر عن المجموع:

بأنه دالة كثيرة الحدود في n, ذات الدرجة (p + 1) والتي تدخل في معاملاتها أعداد بيرنولي.

ملاحظة: تكون أعداد بيرنولي غالبا بالاصطلاح العام هي:

ولكن للوهلة التي نتبع فيها اصطلاحا قد لا يبدوا مألوفا, بأن B1 = +1/2, وجميع أعداد بيرنولي الأخرى تظل كما هي أعلاه (ولكن انظر الأسفل للمزيد حول هذا الموضوع). تنص الصيغة أن

(المعامل j يعمل فقط حتى p، وليس حتى p + 1).

لم يعلم فاولابر أن الصيغة بهذا الشكل. كان على الأقل قد عرف الـ17 حالة الأولى والحقيقة القائلة بأنه عندما يكون الأس فردي, فإن المجموع يصبح كثيرة حدود للمجموع في الخالة الخاصة حين يكون الأسis 1، كما كان أيضا قد علم ببعض التعميمات الجديرة بالملاحظة. إن اشتقاق صيغة فاولابر متوفر في كتاب الأرقام (The Book of Numbers) لـجون هورتون كونوي ورتشارد غاي.

أمثلة

علاقتها بكثيرة حدود بيرنولي

الشكل الظلالي

في التفاضل الظلالي التقليدي يتم معاملة 'j العوامل في تعاقب أو سلسلة Bj على أنها قوى, حتى نستطيع في هذه الحال تطبيق نظرية ذات الحدين ونقول:

في الشكل الحديث للتفاضل الظلالي, يتم اعتبار الشكل الخطي T على الفضاء الشعاعي لمتعدادت حدود (كثيرات حدود) في متغير b معطى بالعلاقة

ويمكن القول حينئذ

كثيرات حدود فاولابر

يستخدم المصطلح "كثيرات حدود فاولابر" من قبل بعض المؤلفين للإشارة إلى شيء غير متسلسلة كثيرة الحدود المعطاه سابقا. لاحظ فاولابر أنه إذا كانت p فردية, فإن

أولى هذه المتطابقات, للحالة p = 3, تعرف بنظرية ىيكوماتشو. ويطلق بعض المؤلفين على كثيرات الحدود في الجانب الأيمن من هذه المطابقات اسم "كثيرات حدود فاولابر في a". كثيرات الحدود على الشق الأيمن تقبل القسمة على a 2 لأنه في حالة كانت j > 1 فردية, يكون عدد برنولي,Bj هو 0.

المراجع

ويكيبيديا, الموسوعة الحرة

التصانيف

رياضيات متقطعة  نظرية الأعداد