مبرهنة فيرما الأخيرة

حدسية فيرما (التاريخ)

السياق العام في الرياضيات

الثلاثية الفيتاغورسية (المسماة هكذا نسبة إلى فيثاغورس) هي مجموعة من ثلاثة أعداد صحيحة a و b و c، تحقق حالة خاصة من معادلة فيرما (n = 2)


من الأمثلة على الثلاثيات الفيثاغورسية (3،4،5) و (5،12،13). هناك عدد غير منته من هؤلاء الثلاثيات، كما دُرست طرق توليدهن في العديد من الثقافات، ابتداءا بعلماء الرياضيات البابليين وبعد ذلك الإغريقيين والصينيين والهنديين.

المعادلات الديوفانتية

حدسية فيرما

تنص المبرهنة على ما يلي:

من المستحيل فصل مكعب إلى مكعبين، ولا عدد مرفوع للقوة الرابعة إلى عددين مرفوعين للقوة الرابعة. وعموماً لا يمكن لأي عدد مرفوع لقوة أعلى من القوة الثانية أن يكون مجموع عددين لهما نفس القوة. ولا توجد أعداد صحيحة طبيعية 
x,y وz بحيث x^n+y^n=z^n \,مع n أكبر من 2.

في بداية القرن التاسع عشر، طورت صوفي جرمين مجموعة من المقاربات من أجل البرهان على مبرهنة فيرما الأخيرة بالنسبة لجميع قيم الأس.

ارنست كومر ونظرية المثاليين

انظر غابرييل لامي.

حدسية مورديل

في عشرينيات القرن العشرين، وضع لويس مورديل حدسية تنص على أن معادلة فيرما تقبل على الأكثر عددا منتهيا من الحلول الطبيعية الأولية وغير البديهية عندما يكون الأس n أكبر قطعا من 2. بُرهن على هذه الحدسية عام 1983 من طف عالم الرياضيات غيلد فالتينغز، وحاليا، تعرف باسم مبرهنة فالتينغز.

دراسات حسابية

في النصف الثاني من القرن العشرين، استعملت طرق حسابية من أجل تمديد مقاربة كومر (نسبة إلى إرنشت كومر) للأعداد الأولية غير المنتظمة.

العلاقة مع المنحنيات الإهليلجية

الاستراتيجية النهائية والناجحة في البرهان على مبرهنة فيرما الأخيرة، تمثلت في البرهان على مبرهنة النمطية. وصفت هذه الاستراتيجية في البداية من طرف جيرار فراي، وكان ذلك عام 1984. أشار فراي إلى أنه إذا كان لمعادلة فيرما حلا (a، b، c) بالنسبة لأس p، فإن المنحنى الإهليلجي المقابل

y^2 = x(x-a^p)(x+b^p)

سيمتلك خصائص غير معهودة تمنعه من أن يكون نمطيا. هذا يتعارض مع مبرهنة النمطية التي تنص على أن جميع المنحنيات الإهليلجية هي نمطية.

برهان وايلز العام

وصل برهان ريبيت على حدسية إيبسيلون في عام 1986 إلى أحد الهدفين اللذان حددتهما استراتيجية فراي من أجل البرهان على مبرهنة فيرما الأخيرة.

عندما يكون الأس سالبا

هل كان لفيرما برهانا عاما ؟

التقنيات الرياضية المستعملة من طرف فيرما في برهانه العجيب ليست معروفة. برهان مفصل واحد فقط لفيرما قاوم النسيان، والذي ينص على عدم وجود أعداد أولية فيما بينها (x, y, z) حيث تتحق المعادلة x4 − y4 = z4.

برهان وايلز وتايلور اعتمد على تقنيات رياضية طورت في القرن العشرين. وقد تكون هذه التقنيات صعبة المنال حتى بالنسبة لعلماء الرياضيات الذين عملوا على مبرهنة فيرما والذين عاشوا قرنا من الزمان من قبل.

الحدسية الكبرى لهارفي فريدمان تعنى أنه من الممكن البرهان على مبرهنة فيرما الأخيرة باستعمال الحسابيات الابتدائية.

جوائز مالية

في عام 1816، وفي عام 1850 أيضا، اقترحت الأكاديمية الفرنسية للعلوم جائزة مالية لمن يعطي حلحلة عامة لمعادلة فيرما الأخيرة. في عام 1875، منحت الأكاديمية ثلاثة آلاف فرنكا وميدالية ذهبية لكومر لأبحاثه في هذا المجال رغم أنه لم يطلب ذلك. منحت أيضا جائزة مالية أيضا عام 1883 من طرف أكاديمية بروكسل.