الفضاء المتّجهي
الفضاء المتّجهي vector space (الشعاعي) V على حقل F، ويدعوه بعضهم الفضاء الخطّي linear space، هو مجموعة غير خالية V مزوّدة بقانوني تشكيل، أحدهما داخلي والآخر خارجي، يحققان شروطاً معينة.
إن مفهوم الفضاء المتجهي، وليس بالتحديد الفضاء الإقليدي، هو حجر الأساس في بناء الجبر الخطي linear algebra. وإن كلمتي متجه (شعاع) vector وعدد scalar كلمتان مألوفتان. لكنَّ «العدد» فيما يأتي يعني أي عنصر من عناصر الحقل F، وليس بالتحديد من حقل الأعداد الحقيقية R، و«المتجه» هو أي عنصر من عناصر الفضاء المتجهي V، وليس بالضرورة متجهاً بالمعنى الفيزيائي.
من السمات المميّزة للرياضيات المعاصرة كونها تعنى بصورة أساسية بدراسة البنى الجبرية algebraic structures. والبنية الجبرية هي مجموعة غير خالية empty set non مزودة بعدد منته من العمليات الثنائية binary operations أي قوانين التشكيلlaws of composition . ويرمز الجداء الديكارتي A. B إلى مجموعة كل الأزواج المرتبة (a,b) التي مسقطها الأول والثاني من A والثاني من B أي إن:
A. b = {(a, b) : a ε A, b ε B}
وقانون التشكيل على مجموعة A قد يكون:
1) داخلياً، وهو قاعدة (قانون) يعين من أجل كل زوج مرتب (a,b) من عناصر A. A عنصراً من A. وبتعبير رياضي هو تطبيق (دالة) من A. A إلى A.
2) خارجياً، وهو قاعدة على A، يأخذ مؤثراته من مجموعة أخرى B، يعين من أجل كل زوج مرتب (λ , a) من عناصر B.A عنصراً من A. وبتعبير رياضي هو تطبيق من B.A إلى A.
الفضاء المتجهي على حقل F هو مجموعة غير خالية V مزودة بقانون تشكيل داخلي (يقال له الجمع addition، ويرمز له +، أي V.V → V: +)، وقانون تشكيل خارجي (يقال له الضرب multiplication بعنصر من الحقل F، ويرمز له . ، أي : F.V → V .)، بحيث تتحقق الفرضيات الثمان الآتية وذلك مهما تكن u, y, w من V ومهما تكن β, α من F:
1) u + v = v + u (الخاصة التبديلية)
2) u + (v +w) = (u + v) + w (الخاصة التجميعية)
3) يوجد عنصر e من V بحيث u + e = u (العنصر الحيادي)
4) يوجد u′ من v بحيث u + u′ = e (وجود النظير)
(أي إن (+,V) زمرة تبديلية)
5) α.. (u + v) = α. .u + β. v
6) (α + β). u = α.. u + β. v
7) (α β). u = α.. (β. u)
8) u1. u = u (حيث 1 هو حيادي الضرب في الحقل F)
ويرمز عادة للفضاء المتجهي بالثلاثية المرتبة (.، + ، v) أو V فقط عندما لا يخشى الالتباس، أو V(F) للدلالة على أن V معرف على الحقل F.
تسمى عناصر V متجهات، وعناصر F أعداداً.
يرمز عادة لحيادي الجمع المتجهي بالرمز o (وهو متجه يدعى المتجه الصفري)، وهو مختلف عن v0، صفر الحقل F (حيادي الجمع في F). كما أن الجمع + في الفضاء المتجهي V غير عملية الجمع + في الحقل F. فمثلاً (α + β) في الفرضية السادسة، جمع عددين من F، في حين α. u + β. v جمع متجهين من V.
إنَّ عملية الطرح في الفضاء V يمكن تعريفها كما يأتي:
u - v = u + (- v), ∀ u, v Î E
حيث (-v) نظير v (inverse) بالنسبة لعملية الجمع في V.
يدعى F أحيانًا حقل المؤثرات.
مثال (1): لتكن
u = (x1, x2, …, xn)
v = (y1, y2, …, yn)
حيث xi , yi ∈ F.
ولتكن عمليتا الجمع والضرب كما يأتي:
u + v = (x1 + y1, x2 + y2, …, xn + yn)
a. u = (ax1 , ax2 , …, axn)
إن V = Fn حيث Fn = {(x1, …, xn) : xn ∈ F} مع عمليتي الضرب والجمع هاتين تشكل فضاءً متجهياً على F.
مثال (2): لتكن V = Fn = {(x1, x2, …, xn) : xi ∈ F}}، كما في المثال السابق، مع عمليتي الجمع والضرب التاليتين:
u + v = (x1 + y1, x2 + y2, …, xn + yn)
a. u = (ax1 , 0 , …, 0 ) ; a Î F
إن الفرضيات السبع الأولى للفضاء المتجهي محققة، في حين:
v1.u = (x1 , 0 , …, 0 ) ≠ u
ومن ثمَّ V ليست فضاءً متجهياً.
مثال (3): إن Mm,n(F) مجموعة كل المصفوفات ذات المرتبة mn المعرفة على الحقل F مع عمليتي جمع المصفوفات وضربها بعدد، تشكل فضاءً متجهياً على F.
مثال (4): الحقل F يشكل فضاءً متجهياً على نفسه، إذ إن الفرضيات الثمان في تعريف الفضاء المتجهي، تصبح بعضاً من فرضيات الحقل .
مثال (5): حقل الأعداد العقدية C مع عمليتي الجمع والضرب العاديتين يشكل فضاءً متجهياً على حقل الأعداد الحقيقية R.
مثال (6): ليكن n عدداً طبيعياً، إن Pn(x) مجموعة كل الحدوديات p (x) من الدرجة n على الأكثر:
مع عمليتي جمع الحدوديات وضربها بعدد، تشكل فضاء متجهياً على الحقل F.
مثال (7): لتكن S مجموعة كل التطبيقات الحقيقية
f : K → R حيث:
K Í R، ولتكن f, g من S، ولتكن عمليتا الجمع والضرب معرفتين كما يأتي:
(f + g) (x) = f (x) + g (x) ∀ x Î K
(a. f ) (x) = a f (x) ∀ a Î R, ∀ x Î K
إن S فضاء متجهي على حقل الأعداد الحقيقية R.
بعض خواص الفضاء المتجهي
إذا كان V فضاءً متجهياً على حقل F فإنَّ:
1) v0 u = O
2) (v-1) u = - u
3) λ O = O
4) -(λ u) = (-λ) u = λ (-u)
5) -(λ) ( - u) = λ u
6) λ u = O يقضي λ = 0 أو u = O
وذلك مهما تكن λ Î F ومهما يكن u Î V.
الفضاء الجزئي subspace
يقال عن مجموعة جزئية غير خالية S من فضاء شعاعي V (F) إنها فضاء جزئي من V إذا تحقق الشرطان:
1) S مغلقة تحت عملية الجمع المتجهي، أي:
مهما تكن v, u من S فإن u + v من S.
2) S مغلقة تحت عملية الضرب بعدد، أي:
مهما تكن u من S، ومهما تكن λ من F، فإن λ u من S.
ينتج من ذلك:
1) إذا كان u من S فإن -u من S.
2) إن O ينتمي إلى S.
3) إن المجموعة S مع مقصور عمليتي الجمع المتجهي والضرب بعدد في V، على S، تشكل فضاءً متجهياً على الحقل F.
ويمكن إثبات ما يأتي:
إذا كانت S مجموعة جزئية غير خالية من فضاء شعاعي V (F) فإنَّ S فضاء جزئي من V إذا وفقط إذا تحقق الشرط الآتي:
α, β Î F ∀و ∀u, v Î S فإن α u + β v Î S
مثال (8): لتكن Mn (R) مجموعة كل المصفوفات الحقيقية المربعة ذات المرتبة n،
ولتكن: Γ = {A Î Mn (R) : AT = A}
مجموعة كل المصفوفات A Î Mn (R) التي منقولها AT يساوي المصفوفة A.
إن Γ فضاء جزئي من الفضاء المتجهي Mn (R).
مثال (9): لتكن V مجموعة حلول جملة المعادلات الخطية المتجانسة:
αi1 x1 + αi2 x2 + … + αin xn = 0 : i = 1, 2, …, m: αij Î R
إن V فضاء جزئي من الفضاء المتجهي Rn، يدعى فضاء الحل للجملة.
مثال (10): إن V = {(x, y, z) Î R3 : x - y + z = 0}
فضاء جزئي من الفضاء المتجهي R3.
في حين M = {(x, y, 5) : x, y Î R}
ليس فضاءً جزئياً من الفضاء المتجهي R3، لأنَّ (n 0, 0, 0) لا ينتمي إلى M.
المولّدات generators
إذا كانت S = {u1, u2, …, un} مجموعة جزئية من الفضاء المتجهي V (F) فإن المجموعة:
W = {α1 u1 + α2 u2 + … + αn un : αi ÎF ; υi Î S}
المكوّنة من كل التركيبات الخطية linear combinations لمتجهات S تدعى بسطةS span ، ويكتب W = Span (S).
هذا ويبرهن على أن المجموعة W = Span (S) فضاء جزئي من الفضاء المتجهي V.
كما تسمى S مجموعة مولدات الفضاء الجزئي W، أو يقال إن W مولد بالمجموعة S.
إذا كانت V = Span (S)، أي إذا كان كل عنصر من V هو تركيب خطي لعناصر المجموعة S، فإن S تدعى مجموعة مولدات V.
ـ إن تقاطع فضائين جزئيين (W Ç T) T, W من فضاء متجهي V هو فضاء جزئي من الفضاء المتجهي V.
ويمكن تعميم ذلك على عدد n من الفضاءات الجزئية، إذ يبرهن على أن:
« تقاطع n فضاءً جزئياً W1, W2, …, Wn من فضاء متجهي V هو فضاء جزئي من الفضاء المتجهي V».
يجب ملاحظة أن:
«اجتماع فضائين جزئيين (W È T) T, W من فضاء متجهي V، ليس بالضرورة فضاءً جزئياً من الفضاء المتجهي V».
مثال (11): المجموعة S = {(1, 2, 0), (2, 1, 0)} تولد الفضاء الجزئي:
W = {(x, y, 0) : x, y Î R}
من الفضاء المتجهي R3.
مثال (12): الحدوديات الثلاث:
f1(t) = 1, f2(t) = t +1, f3 = t2 + 2t - 1
تولد الفضاء المتجهي:
R2[t] = {a t 2 + bt + c : a, b, c Î R}
مثال (13) : إذا كان:
T = {(x, 0) : x Î R} و W = {(0, y) : y Î R}
فإن تقاطع هذين الفضائين الجزئيين هو فضاء جزئي من الفضاء المتجهي R2، لكن اجتماعهما ليس فضاءً جزئيًا من R2، ذلك لأن:
(v1, 0) , (v0, 1) Î W È T
(v1, 0) + (v0,1) = (v1,1) Ï W È T
مجموع فضاءات جزئية
إذا كانت W1, W2, …, Wn فضاءات جزئية من فضاء متجهي V (F) فإنَّ
مجموع هذه الفضاءات الجزئية W = W1 + W2 + … + Wn هو المجموعة
W = {u1 + u2 + … + un : ui Î Wi}
ويبرهن أن المجموعة W فضاء جزئي من الفضاء المتجهي V (F).
ويدعى W المجموع الخطي linear sum للفضاءات الجزئية W1, W2, …, Wn.
وإن كلاً من هذه الفضاءات الجزئية محتوى في المجموع، أي:
Wi Ì W1 + W2 + … + Wn ; i =1, 2 , …, n
مثال (14): إذا كان:
T = {(x, 0) : x Î R} و W = {(0, y) : y Î R}
فإن مجموع هذين الفضائين الجزئيين هو الفضاء المتجهي R2 = {(x, y) : x, y Î R}.
الاستقلال الخطي linear independence
إذا كانت S = {u1 , u2 , … , un} مجموعة جزئية من الفضاء المتجهي V (F) فيقال إن عناصر S:
1) مرتبطة خطياً linear dependent إذا وجد a1, a2, …,an Î F (ليست جميعها أصفاراً) بحيث تتحقق المساواة:
a1 u1 + a2u2 + …+ anun = O
أي إذا أمكن التعبير عن صفر الفضاء المتجهي V (F) كتركيب خطي لعناصر المجموعة S بحيث لا تكون الأمثال ai كلها أصفاراً.
وهذا يكافئ:
«S مرتبطة خطياً إذا أمكن التعبير عن أحد عناصرها كتركيب خطي لعناصرها الباقية».
2) مستقلة خطياً linear independent إذا كانت المساواة
a1 u1 + a2u2 + …+ anun = O
تقضي أن الأمثال جميعها أصفار. أي إن:
a1 u1 + a2u2 + …+ anun = O ⇒ a1 = a2 = … = an = 0
مثال (15): ليكن الفضاء المتجهي V = R3 ولتكن المجموعة:
S = {(1,2,0), (1,0,2), (2,1,3)}
إن a1 u1 + a2u2 + a3u3 = O يقضي:
a1 (1,2,0) + a2(1,0,2) + a3(2,1,3) = (0,0,0)
وبذا نحصل على جملة المعادلات الخطية المتجانسة الآتية:
a2a1 + a2 + a3 = 0
a1 + 2a3 = 0
a3a1 + 2a2 = 0
التي تعطي عدداً لا نهائياً من الحلول، وذلك لأن محدد أمثالها يساوي الصفر:
القاعدة basis
إذا كانت S = {u1 + u2 + … + un} مجموعة جزئية من الفضاء المتجهي V (F) فإن S قاعدة للفضاء V إذا حققت ما يأتي:
(آ) S مولدة للفضاء V (أي V = Span (S)
(ب) S مستقلة خطياً
ويبرهن أنه:
«إذا كانت S = {u1 , u2 , … , un} قاعدة لفضاء متجهي V (F) (ذات n عنصر) فإن كل قاعدة أخرى للفضاء V تحوي n عنصراً».
البعد dimension
إذا كانت S قاعدة للفضاء المتجهي V، فإن بُعد الفضاء V، هو عدد عناصر S. أي إذا كانت
S = {u1 , u2 , … , un}
قاعدة للفضاء V، فإن بُعد V هو n.
أو يقال إن V نوني البعد، ونكتب dim (V) = n.
ويقال عن فضاء متجهي V، إنه منتهي البعد finite - dimensional (أو ذو بعد منته) إذا وفقط إذا كانت له قاعدة منتهية العدد.
أما الفضاءات الأخرى فتدعى فضاءات ذات بعد غير منته أو غير منتهية البعد.
ويبرهن أنه:
1) «إذا كان V فضاءً متجهياً بعده n،
وكانت S = {u1 , u2 , … , un} مجموعة متجهات مستقلة خطيًا في V، عددها n، فإن S قاعدة للفضاء V».
2) «إذا كان V فضاءً متجهياً، بعده n، وكانت S = {u1 + u2 + … + un} مجموعة مولدات V، عددها n، فإن S قاعدة للفضاء V».
مثال (17): ليكن الفضاء المتجهي V = R3، إن المجموعة:S = {(1,0,1) , (1,1,0), (1,2,3)} مولّده للفضاء ومستقلة خطياً، فهي قاعدة للفضاء V = R3، والفضاء ثلاثي البعد.
أنور توفيق اللحام
المراجع
الموسوعة العربية
التصانيف
الأبحاث