متسلسلة تايلور وماكلورين
في الرياضيات، مجموع تايلور أو متسلسلة تايلور باللغة الانجليزية (Taylor series) هو عبارة عن تمثيل لدالة رياضية في شكل متسلسلة متكونة من حدود حُسبن باستخدام قيم اشتقاق هذه الدالة في نقطة معينة.
واخترع مفهوم متسلسلات تايلور بشكل رسمي عالم الرياضيات الأنجليزي بروك تايلور. وكان ذلك سنة 1715. إذا تعلق الأمر بنقطة الصفر، فإن هذه المتسسلسلة قد تسمى أيضا متسلسلة ماكلورين نسبة إلى عالم الرياضيات الإسكتلندي كولين ماكلورين الذي استخدم هذه الحالة الخاصة بشكل مكثف خلال القرن الثامن عشر.
إن المجموع الجزئي المكون من الحدود n الأولى لمتسلسة تايلور هو متعددة حدود من الدرجة n يسمى متعددة الحدود لتايلور. متعددات الحدود لتايلور من تقريبات للدالة التي حُسبن عليها هؤلاء المتعددات تزداد دقة كلما كبرت قيمة n. تقدر مبرهنة تايلور كمية الخطأ الذي يفصل الدالة عن هؤلاء التقريبات. دالهٌ قد لا تساوي المجموع غير المنتهي لمتسلسة تايلور، حتى وإن كانت هذه المتسلسة متقاربة. يُقال عن دالة أنها تحليلية في نقطة x إذا كانت مساوية للمجموع غير المنتهي لمتسلسلة تايلور في جوار مفتوح ما (أو قرص مفتوح في المستوى العقدي) يحتوي على x. في هذه الحالة تكون الدالة تحليلية ليس فقط عند x وإنما عند جميع نقط هذا الجوار أو هذا القرص.
تاريخ
فكر في جمع متسلسلة غير منتهية عالم الرياضيات الإغريقي زينون الإيلي. ولكنه سرعان ما ترك هذا الأمر، مما أعطاه مفارقة من مفارقاته المعروفة باسم مفارقات زينون.خلال القرن السابع عشر، عمل جيمس جريجوري على هذا المجال، ونشر عدة أمثلة لهؤلاء المتسلسلات في النقطة الصفر. في سنة 1715، نشر بروك تايلور طريقة عامة تمكن من إنشاء هؤلاء المتسلسلات بالنسبة لجميع الدوال. نتيجة لذلك، سمين نسبة إليه.
المراجع
areq.net
التصانيف
متسلسلات تحليل رياضي العلوم التطبيقية رياضيات